1. Область определения функции вся числовая прямая, кроме х=0
2. Находим точки пересечения графика с осью ОХ:
x2 + 1/x2 -1 = 0 - умножаем на х2
x4 - x2 +1 = 0
Делаем замену t = x2
t2-t+1=0
D = 12-4·1·1 = -3 < 0 - корней нет, значит, график не пересекает ось ОХ
3. С осью OY пересечения нет, так как в точке х=0 функция не определена.
4. Находим стационарные точки. Для этого берём производную от функции и находим точки, в которых производная не существует или равна нулю.
y′ = 2x - 2/x3
В точке х=0 производная не существует, в этой точке не существует и функция.
2x - 2/x3 = 0 - умножаем на х3
2x4-2 = 0
x4-1 = 0
x4 = 1
x1 = -1
x2 = 1
y1(-1) = (-1)2 + 1/(-1)2 -1 = 1
y2(1) = 12 +1/12 - 1 = 1
х=0, (-1;1), (1;1) - стационарные точки
Определяем знаки производной вне стационарных точек:
__-__-1__+__0__-__1__+__
(-1;1) - точка минимума
(1;1) - точка минимума
5. Находим точки перегиба и интервалы выпуклости/вогнутости графика функции. Для этого надо взять вторую производную и приравнять её к нулю, а также найти точки, в которых вторая производная не существует.
y″ = 2 + 6/x4
В точке х=0 вторая производная не существует.
2 + 6/x4 = 0
1/3 + 1/x4 = 0
x4 = -3
Корней нет, значит, точек перегиба нет.
Знаки второй производной:
__+__0__+__
На интервалах (-∞; 0) и (0; ∞) график вогнутый.
6. Находим асимптоты.
Вертикальные асимптоты могут проходить через точки разрыва. Если предел функции с обеих сторон от точки разрыва равен бесконечности, то через точку разрыва проходит вертикальная асимптота.
lim (x2+1/x2-1) = ∞
x→-0
lim (x2+1/x2-1) = ∞
x→0
Через точку х=0 проходит вертикальная асимптота.
Горизонтальная асимптота существует, когда пределами при х→±∞ являются числа.
lim (x2+1/x2-1) = ∞
x→-∞
lim (x2+1/x2-1) = ∞
x→∞
Так как пределы равны бесконечности, то горизонтальных асимптот нет
Наклонная асимптота имеет уравнение kx+b, где k = lim f(x)/x
